Matière : Espaces Vectoriels normés

Unité d’enseignement : fondamentale

Crédits :5

Coefficient : 3

Objectifs de l’enseignement :

Apprendre aux étudiants l’importance de l’espace de Banach et la particularité de l’espace Hilbert comme étant une classe des espaces normés. Faire apparaître des résultats propres à cet espace.

Connaissances préalables recommandées : Analyse1, analyse2, analyse3, topologie

Contenu de la matière :

Chapitre 1 : Espace de Banach

  • Normes, normes équivalentes, espace de Banach
  • Propriétés de la norme, ….
  • Exemples d’espaces de Banach
  • Espaces vectoriels normés de dimension finie
  • Applications linéaires continues : Définitions, norme d’une application linéaire continue
  • Dual d’un espace vectoriel normé

Chapitre 2 : Espace de Hilbert

  • Produit scalaire, espace pré-hilbertien, espace de Hilbert
  • Propriétés du produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, égalité du parallélogramme, ….
  • Orthogonalité, théorème de la projection, théorème de Riesz
  • Système orthogonal (inégalité de Bessel-Parseval), base
  • Systèmes orthonormés
  • Séries de Fourier
  • Systèmes orthonormés complets dans des espaces concrets

Mode d’évaluation : Examen (60%) , contrôle continu (40%)

Références:

  • Brezis H. Analyse Fonctionnelle, Théorie et Applications
  • Lacombe G., Massat P. Analyse Fonctionnelle. Exercices corrigés, DUNOT
  • Riesz F., Nagy B. Sz Leçons d’analyse fonctionnelle
  • Sonntag Y. Topologie et Analyse Fonctionnelle, Cours et exercices, Ellipses, 1997 , Gauthier&Villars

Espaces vectoriels normés (Cours)