Intitulé de la matière : Équations différentielles stochastiques

Intitulé de l’UE : UEF3.2.1

Crédits : 5

Coefficients : 3

Objectifs de l’enseignement : 

Acquérir des outils mathématiques probabilistes avancés, qui sont utiles à la modélisation d’actives de la finance, physiques et de ses dérivées.

Connaissances préalables recommandées : Équations différentielles ordinaires, calcul probabiliste.

Contenu de la matière :

Ch01 : Processus stochastiques en temps continu

  • Définition d’un processus stochastique, trajectoire, filtration
  • Processus de Markov et processus du second ordre
  • Martingales et temps d’arrêt

Ch02 : Le mouvement Brownien

  • Construction du mouvement Brownien
  • Définition et propriétés générales
  • Mouvement Brownien arithmétique
  • Mouvement Brownien géométrique

Ch03 : Intégrales stochastiques

  • Construction d’une intégrale stochastique
  • Définition et propriétés de l’intégrale stochastique
  • Règles de calcul
  • Le lemme d’Itô et formule multidimensionnelle
  • La règle de multiplication

Ch04 : Résolutions analytique des ÉDS

  • Existence et unicité des solutions d’ÉDS
  • Résolutions des ÉDS
  1. Les équations linéaires
  2. Les équations non linéaires
Ch05 : Résolution numérique d’ÉDS
  •  Motivations
  • Schémas stochastiques
  1. Schéma d’Euler
  2. Schéma de Milstein
  3. Schéma de Milstein Seconde
  4. Schéma de Heun
  • Simulations et exemples d’application.

Mode d’évaluation : Examen (60%) , continue (40%).

Références :

  • B. Oksendal. Stochastic differentialequations : An introduction with applications. Springe Berlin Heidelberg, 5 edition, 2000.
  • E. Allen. Modeling with Itô Stochastic Differential Equations. Springer Netherlands, 2007.
  • S. M. Iacus. Simulation and Inference for Stochastic DifferentialEquations : With R Examples. Springer-Verlag, New York, 2008.
  • F. Jedrzejewski. Modèles aléatoires et physique probabiliste. Springer, 2009.

Équations différentielles stochastiques (Cours)