Matière : Géométrie différentielle

Unité d’enseignement : Méthodologie  

Crédits : 5

Coefficient : 2

Objectifs de l’enseignement

L’étudiant apprendra le calcul différentiel et le calcul intégral sur des objets abstraits qui sont les variétés différentiables modélisant les espaces euclidiens réels.

Connaissances préalables recommandées : Analyse Réelle et Algèbre Linéaire

Contenu de la matière :

Chapitre1 Théorème d’inversion locale.

  • Applications de classe Cr.
  • Difféomorphismes.
  • Théorème des fonctions implicites.

Chapitre2 Théorème du rang.

  • Le rang.
  • Théorème de submersion.
  • Théorème d’immersion.
  • Théorème du rang constant

Chapitre3 Sous-Variétés de Rn.

  • La notion de sous variété.
  • Espaces tangents.
  • Sous variétés définies par des équations.
  • Sous variétés définies par un paramétrage.
  • Le lemme de Morse.
  • Fibré tangent à une sous variété de Rn.

Chapitre4 Orientations et variétés à bord.

Chapitre5 Formes différentielles et différentielle extérieure.

  • Rappels d’algèbre linéaire.
  • Formes multilinéaires alternées.
    • Produit intérieur.
    • Produit extérieur.
  • Formes différentielles.
  • Différentielle extérieure. Existence et unicité.
  • Formes différentielles induites et Lemme de Poincaré.

Chapitre 6 Intégration des formes différentielles.

  • Intégration sur Rn.
  • Intégration sur une variété.
  • La formule de Stokes.
  • Applications de la formule de Stokes. Divergence et formule de Green-Ostrogradski

Mode d’évaluation : Examen (60%) , contrôle continu (40%) 

Références

  • Quatre-vingt-douze exercices classiques de géométrie différentielle pour la maitrise de mathématiques. Michèle Audin.
  • Cours de Mathématiques, deuxième année, Jack Dixmier.
  • Introduction aux variétés différentiables, presse Université de Grenoble1996, J.J la fontaine.
  • Notes de cours de géométrie différentielle, Claude Viterbo, 23-juin-2013

Géométrie différentielle (Cours)