Matière : Analyse complexe

Unité d’enseignement : fondamentale

Crédits : 6

Coefficient : 3

Objectif du cours :

Introduire la notion de fonction différentiable d'une variable complexe, étudier les propriétés principales de ces fonctions et quelques-unes de leurs applications (calculs de certaines intégrales généralisées et sommation des séries).

Connaissances préalables recommandées : Analyse 1 et 2.

Chapitre 1 : Topologie dans le plan complexe.

  • Propriétés algébriques des nombres complexes.
  • Propriétés topologiques.
  • L’infini en analyse complexe.

Chapitre 2 : Fonction de la variable complexe

  • Définition de la fonction de la variable complexe
  • Fonctions holomorphes, fonctions analytiques.
  • Condition de Cauchy-Riemann.
  • Fonctions harmoniques

Chapitre 3 : Fonctions élémentaires

  • Fonction exponentielle.
  • Fonction logarithme.
  • Fonctions circulaires.
  • Fonctions hyperboliques.
  • Fonctions puissances.

Chapitre 4 : Le Calcul intégral

  • Intégrale curviligne.
  • Théorème de Cauchy.
  • Formule intégrale de Cauchy.
  • Formule de la moyenne.
  • Formule intégrale de Cauchy pour les dérivées.
  • Inégalité de Cauchy.
  • Théorème de Liouville-Théorème de Morera

Chapitre 5: Développement en série Taylor et en série de Laurent

  • Développement en séries de Taylor.
  • Développement en série de Laurent
  • Singularité isolées d’une fonction complexe.

Chapitre 6 : Théorème des résidus et ses applications

  • Théorème des résidus.
  • Calcul des résidus.
  • Applications au calcul intégral et à la sommation des séries.
  • Principe de l’argument.
  • Théorème de Rouché.

Mode d’évaluation : Examen (60%) , contrôle continu (40%)

Références:

  • M. Lavrentiev, B. Chabat, Méthode de la théorie des fonctions d’une variable complexe, Edition Mir, Moscou, 1977.
  • V. Smirnov, Cours de Mathématiques Supérieures, Tome 3, OPU 1985.
  • W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Cours et exercices 1987.
  • John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, New York 1978. 5-
  • B. Belaidi, Analyse Complexe Cours et Exercices Corrigés, 2002, 245 p. (En langue arabe). Deuxième édition 2009

Analyse complexe (Cours)