Matière : Analyse 4
Unité d’enseignement : fondamentale
Crédits : 7
Coefficient : 4
Objectifs de l’enseignement :
L’objectif de cette matière est de donner les connaissances nécessaires concernant la différentiabilité d’une fonction de plusieurs variables, les généralisations des théorèmes des accroissements finis et la formule de Taylor aux fonctions de plusieurs variables, le calcul des extremums ainsi que le calcul des intégrales multiples.
Connaissances préalables recommandées : Analyse 1 et Analyse 2
Contenu de la matière :
Chapitre 1 : Topologie de IRn.
Notion de norme, Ensemble ouvert, Parties ouvertes, Voisinage, Parties fermées et compactes dans IRn.
Chapitre 2 : Fonctions de plusieurs variables
Limite d'une fonction, Fonction continue, Dérivées partielles suivant un vecteur, Fonctions différentiables, Dérivée d'une fonction composée, Gradient, Différentielle d'une fonction, Différentielle d'ordre supérieur, Lemme de Schwarz, Formule de Taylor, Extremums, Cas des fonctions de deux variables, Calcul du minimum et du maximum d'une fonction, Extremum lié, Théorème des fonctions implicites.
Chapitre 3 : Intégrales Multiples
Intégrales itérées, Définition de l'intégrale double sur un rectangle, Théorème de Fubini sur un rectangle, Intégrale double sur un domaine D borné, Propriétés générales de l'intégrale double, Changement de variable dans un intégrale double, Passage en polaires, L'intégrale triple, Calcul d'une intégrale triple sur un parallélépipède, Calcul de l'intégrale triple sur un domaine D, Changement de variable dans une intégrale triple, Passage en cylindrique, Passage en sphérique. Applications : Calcul des volumes, des surfaces.
Mode d’évaluation : Examen (60%) , contrôle continu (40%)
Références
- J.-M. Monier, Analyse PC-PSI-PT, Dunod, Paris 2004.
- Y. Bougrov et S. Nikolski, Cours de Mathématiques Supérieures, Editions Mir, Moscou, 1983.
- N. Piskounov, Calcul différentiel et intégral, Tome 1, Editions Mir, Moscou, 1980.
- J. Lelong-Ferrand et J. M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome 4, Edition Dunod, 1992.