Matière : Introduction à la Topologie
Unité d’enseignement : fondamentale
Crédits : 6
Coefficient : 3
Objectifs de l’enseignement :
Il a pour objectif de donner les
bases en topologie indispensables à toute formation en mathématiques.
Connaissances préalables recommandées : Techniques ensemblistes , Analyse ´élémentaire sur la droite réelle R : Le corps des réels d´défini comme corps archimédien contenant Q et vérifiant la propriété de la borne supérieure, suites réelles, intervalles, fonctions continues de R dans R, d´dérivation , algèbre linéaire et bilinéaire, espaces vectoriels, bases, applications linéaires, calcul matriciel, d´déterminants, produit scalaire, fonctions de plusieurs variables, dérivées partielles.
Contenu de la matière :
Chapitre 1 : Espaces topologiques
- Ouvert, voisinage, base et système fondamental
- Intérieur et adhérence
- Espace séparé
- Topologie induite
- Topologie produit
- Suites convergentes
- Applications continues
- Homéomorphismes
- Topologie des espaces métriques : distance, boule, ….
- Continuité uniforme
- Espaces métriques séparables
Chapitre 2 : Espaces compacts
- Espace topologique compact
- Espace métrique compact
- Produit d’espaces métriques compacts
- Parties compactes de la droite réelle
- Applications continues sur un compact
- Espaces localement compacts
Chapitre 3 : Espaces complets
- Suites de Cauchy
- Complétude
- Prolongement d’une application uniformément continue
- Points fixes des contractions
Chapitre 4 : Espaces connexes
- Connexité
- Espaces localement connexes
Chapitre 5 : Espaces vectoriels normés
- Normes
- Distance associée à une norme
- Normes équivalentes
Mode d’évaluation : Examen (60%) , contrôle continu (40%)
Références
- N. Bourbaki, Topologie générale, Chapitres 1 à 4. Hermann, Paris, 1971.
- G. Choquet, Cours d'analyse, tome II, Topologie. Masson, Paris, 1964.
- G. Christol, Topologie, Ellipses, Paris, 1997.
- J. Dieudonné, Éléments d'analyse, tome I : fondements de l'analyse moderne, Gauthier-Villars, Paris, 1968.
- J. Dixmier, Topologie générale, Presses universitaires de France, 1981.