Matière : Algèbre1

Unité d’enseignement : Fondamentale

Crédits : 5

Coefficient : 3 

Objectifs de l’enseignement :

Le but de cette matière est d’introduire les notions de base de l’algèbre et de la théorie des ensembles.

Connaissances préalables recommandées : Notions d’algèbre classique.

Contenu de la matière :

Chapitre 1 : Notions de logique

  •  Table de vérité, quantificateurs, types de raisonnements.

Chapitre 2 : Ensembles et applications.

  • Définitions et exemples.

  • Applications : injection, surjection, bijection, image directe, image réciproque, restriction et prolongement.

Chapitre 3 : Relations binaires sur un ensemble.

  • Définitions de base : relation réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive.

  • Relation d’ordre- Définition. Ordre total et partiel.

  • Relation d’équivalence : classe d’équivalence.

Chapitre 4 : Structures algébriques.

  • Loi de composition interne. Partie stable. Propriétés d'une loi de composition interne.

  • Groupes : Définitions. Sous-groupes : Exemples-Homomorphisme de groupes isomorphisme de groupes. Exemples de groupes finis Z/nZ (n= 1, 2, 3,…) et le groupe de permutations S3.

  • Anneaux : Définition- Sous anneaux. Règles de calculs dans un anneau. Éléments inversibles, diviseurs de zéro-Homomorphisme d’anneaux-Idéaux.

  • Corps : Définitions-Traitement du cas d’un corps fini à travers l’exemple Z/pZ où p est premier, R et C

Chapitre 5 : Anneaux de polynômes.

  • Polynôme. Degré.

  • Construction de l’anneau des polynômes.

  • Arithmétique des polynômes : Divisibilité, Division euclidienne, Pgcd et ppcm de deux polynômes-Polynômes premiers entre eux, Décomposition en produit de facteurs irréductibles.

  • Racines d'un polynôme : Racines et degré, Multiplicité des racines.

Mode d’évaluation : Examen (60%), contrôle continu (40%) 

Références

  •  M. Mignotte et J. Nervi, Algèbre : licences sciences 1ère année, Ellipses, Paris, 2004.

  • J. Franchini et J. C. Jacquens, Algèbre : cours, exercices corrigés, travaux dirigés, Ellipses, Paris, 1996.

  • C. Degrave et D. Degrave, Algèbre 1ère année : cours, méthodes, exercices résolus, Bréal, 2003.

  • S. Balac et F. Sturm, Algèbre et analyse : cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés, Presses Polytechniques et Universitaires romandes, 2003.

Algèbre 1 (Cours)